\title{金融随机分析}

\subtitle{非路径依赖美式衍生证券以及停时}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
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\begin{document}

\maketitle
\begin{oframe}{目录}
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  %\end{columns}
\end{oframe}

\section{非路径依赖美式衍生证券}

\begin{oframe}[c]{定义}
  \begin{definition}[美式期权]\label{def:american_derivative}
    如果期权持有人可以在到期日之前的任何时刻（包括到期日）行权，
    这样的期权被称为 {\bf 美式期权 (american option)}.
  \end{definition}

  \begin{definition}[内在价值]\label{def:intrinsic_value}
    对于美式期权，
    即时行权可以获得的支付为
    {\bf 内在价值 (intrinsic value)}.
    如果在某时刻的内在价值为负，
    则称期权在此刻为
    {\bf 虚值 (out of money)}
  \end{definition}
\end{oframe}

\begin{oframe}[c]{二时段美式看跌期权 (图)}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-2-AP.pdf}
  \label{fig:compute_rn}
\end{figure}
\end{oframe}

\begin{oframe}[c]{二时段美式看跌期权 (问题)}
\begin{problem}\label{pr:AP_2_period}
  如上图,
  假设利率 $r = 1 / 4$,
  期初股价 $S_0 = 4$,
  上升因子 $u = 2$, 下降因子 $d = 1 / 2$,
  美式看跌期权的敲定价格 $K = 5$.
  \begin{enumerate}
    \item 请计算此期权的内在价值
      $g\left( S_n\right)$, $n = 0, 1, 2$.
    \item 在第一次抛掷硬币的结果为{\bf 正面}时，
      期权的持有者是否应该行权？
    \item 在第一次抛掷硬币的结果为{\bf 背面}时，
      期权的持有者是否应该行权？
    \item 请计算此期权的价值
      $v_n\left( S_n\right)$, $n = 0, 1, 2$.
      注意此价值只与当期的股价有关，
      与之前的路径无关。
  \end{enumerate}
\end{problem}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{二时段美式看跌期权 (内在价值)}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-2-AP-intrinsic-value.pdf}
\end{figure}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二时段美式看跌期权 (价值)}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-2-AP-answer.pdf}
\end{figure}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{路径无关美式衍生证券的复制}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 计算股票的份额
    \item 财富方程
    \item 与欧式衍生证券的区别
  \end{itemize}
\end{oframe}

\section{停时}%
\label{sec:ting_shi_}


\begin{oframe}[c]{描述最优实施时刻的随机变量}
  \begin{definition}[停时]\label{def:stopping_time}
    在 $N$-时段二叉树资产定价模型中，
    {\bf 停时 (stopping time)}
    $\tau$ 是 $N$-维抛掷硬币样本空间 $\mathbb{C}^N$ 上的一个随机变量，
    取值为 $0, 1, \ldots, N$ 或者 $\infty$,
    并且满足条件：如果
    \[
      \tau(\omega_1\omega_2\ldots\omega_n\omega_{n+1}\ldots\omega_N) = n,
    \]
    那么对所有的 $\omega_{n+1}^{\prime}\ldots\omega_N^{\prime}$,
    \[
      \tau(\omega_1\omega_2\ldots\omega_n
      \omega_{n+1}^{\prime}\ldots\omega_N^{\prime}) = n.
    \]
  \end{definition}
\end{oframe}

\begin{oframe}[c]{用停时表示美式看跌期权的最优实施时刻}
  \begin{problem}\label{pr:stopping_time_2_mskdqq}
    将问题 \ref{pr:AP_2_period} 中的最优实施时刻写成行权法则，
    并用停时来表示。
  \end{problem}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{行权法则---最优实施时刻}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-2-AP-stopping-time.pdf}
\end{figure}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{随机过程和停时的结合}
  \begin{definition}[停止过程]\label{def:stopped_process}
    给定一个随机过程，
    如果它在规定的（可能是随机的，比如停时）时间之后被强制假定为相同的值，
    则称这样的过程为
    {\bf 停止过程 (stopped process)}.
  \end{definition}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{美式看跌期权的贴现价值过程}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-2-AP-answer-discounted.pdf}
  \end{figure}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{根据一个过程和停时构造停止过程}
  \begin{problem}\label{pr:stopped_process}
    根据贴现过程
    \begin{equation}\label{eq:stopped_process}
      Y_n = \frac{1}{(1+r)^n}v_n\left( S_n\right), \quad n = 0, 1, 2,
    \end{equation}
    以及行权法则 $\tau$,
    构造一个停止过程。
  \end{problem}
\end{oframe}

\begin{oframe}[c]{被停止过程的鞅性}
  \begin{problem}\label{pr:stopped_process_martingale}
    \begin{enumerate}
      \item 将一个鞅停止于停时得到的停止过程，有无可能是鞅？
      \item 将一个上鞅（或下鞅）停止于停时得到的停止过程，有无可能是上鞅（或下鞅）？
      \item 如果 $X_n$ 是一个下鞅，
        则 $\mathbb{E}X_m \le \mathbb{E}X_n$, $\forall m\le n$.
        用 $\tau\land n$ 替换 $m$, 不等式仍然成立吗？
      \item 如果 $X_n$ 是一个上鞅，
        则 $\mathbb{E}X_m \ge \mathbb{E}X_n$, $\forall m\le n$.
        用 $\tau\land n$ 替换 $m$, 不等式仍然成立吗？
    \end{enumerate}
  \end{problem}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{可选抽样定理}
  \begin{theorem}[可选抽样 --- 第一定理]\label{thm:bookI_4_3_2}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 4.3.2.}
    将一个鞅停止于停时得到的停止过程仍是一个鞅。
    将一个上鞅（或下鞅）停止于停时得到的停止过程仍是一个上鞅（或下鞅）。
  \end{theorem}

  \begin{theorem}[可选抽样 --- 第二定理]\label{thm:bookI_4_3_3}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 4.3.3.}
    设 $X_n$, $n = 1, 2, \ldots, N$,
    是一个下鞅，$\tau$ 是一个停时，
    则 $ \mathbb{E}[X_{n\land\tau}] \leq \mathbb{E}[X_n]$;
    如果 $X_n$ 是一个上鞅，
    则 $ \mathbb{E}[X_{n\land\tau}] \geq \mathbb{E}[X_{n}]$;
    如果 $X_n$ 是一个鞅，
    则 $ \mathbb{E}[X_{n\land\tau}] = \mathbb{E}[X_{n}]$.
  \end{theorem}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{非停时的随机变量}
  \begin{problem}\label{pr:non_stopped_process}
    \begin{enumerate}
      \item 构造 $N$-维抛掷硬币样本空间 $\mathbb{C}^N$ 上的一个随机变量，
        取值为 $0, 1, \ldots, N$ 或者 $\infty$,
        \textbf{不}满足条件：如果
        \[
          \tau(\omega_1\omega_2\ldots\omega_n\omega_{n+1}\ldots\omega_N) = n,
        \]
        那么对所有的 $\omega_{n+1}^{\prime}\ldots\omega_N^{\prime}$,
        \[
          \tau(\omega_1\omega_2\ldots\omega_n
          \omega_{n+1}^{\prime}\ldots\omega_N^{\prime}) = n.
        \]
      \item 将贴现股票价格过程作用于此 ``非停时''，会得到一个鞅吗？
    \end{enumerate}
  \end{problem}
\end{oframe}

\end{document}
